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Suites géométriques Une suite en progression géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par un nombre réel constant non nul appelé la raison, notée q. L’ordre des termes est important, c’est pourquoi un rang lui est donné. $q $q $q a2 a3 a1 q a1 an-1 a2 q a1 q2 an an-1 q a1 qn-1 an = an-1 $q = a1 $qn-1 avec an le nième terme, a1 le premier terme et n le nombre de terme. • Si q > 1, alors la suite est croissante. • Si q < 1, alors la suite est décroissante. • Si q = 1, alors la suite est constante. La somme S d’une suite géométrique est : S= q $valeur du dernier terme – valeur du 1er terme = a1$ q–1 qn –1 avec q ≠ 1 q–1 Ces suites trouvent leur application lorsqu’il est envisagé une augmentation constante chaque année (par exemple les salaires augmentent de 1 % chaque année, le calcul des intérêts composés). Exemple : Monsieur Trésor signe un contrat de maintenance sur 10 ans. La valeur initiale est de 1 000 €. Il est envisagé de l’augmenter de 8 % par an. Combien aura-t-il décaissé à la fin du contrat ? a1 = 1 000 ; a2 = a1 $1,08 = 1 080. Nous sommes en présence d’une suite géométrique de raison q = 1,08. 10 S = 1 000$ 1,08 − 1 = 14 486,56 € montant versé à la fin du contrat. 1,08 − 1 Parfois la suite peut être arithmétique et géométrique. Dans ce cas : un+1 = a un+b et un = an (u0 – b ) + b 1–a 1–a Exemple : Monsieur Trésor place sur un compte 600 € tous les mois. Chaque mois, il utilise 20 % de ce qu’il possède sur ce compte. Quel montant peut-il y avoir au maximum sur ce compte ? À la fin du premier mois, M1 = 600 – 600$20 % = 480 ; fin du deuxième mois M2 = (480 + 600)$0,8 = 864 € M2 = (M1 + 600)$0,80 = 0,80 M1 + 480. Ceci correspond à une suite arithmétique et géométrique. Mn = 0,8n-1 480 – 480 + 480 = 0,8n-1$(-1 920) + 1 920 1 – 0,8 1 – 0,8 Quand n tend vers l’infini alors 0,8n-1 = 0 alors Mn = 1 920 € montant maximum du compte. ( ) G • 9

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