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CHAPITRE 4 - Les mathématiques des produits dérivés
Que l'on peut aussi formuler ainsi :
dX t ¼ ut d t þσt dBt avec ut et σt deux fonctions aléatoires. Alors si f ðX t ; tÞ est une fonction de
classe C2 ðℝxℝþ ; ℝÞ alors la formule d'Itô s'écrit :
2
 ∂f

∂f
1∂ f
ðX t ; tÞ∂2t dt∙
d f ðX t ; tÞ ¼ ðX t ; tÞdt þ ðX t ; tÞdX t þ
∂t
∂x
2 ∂x 2

2 Les mathématiques financières

■ La volatilité
La volatilité d'une action se note généralement σ. C'est une mesure de l'incertitude sur la rentabilité d'un titre. On la situe pour les actions dans la plage de 5 % à 20 %.
Soit une action cotant 20 €, caractérisée par une espérance de rentabilité annuelle de 20 % et une
volatilité annuelle de 40 %.
Le cours espéré de l'action E(ST) et la variance Var(ST), attendus dans un an sont donc :
E(ST) = 20e0,2 x 1 = 24,43
Var(ST) = 400e2 x 0,2 x 1(e0,4 x 0,42 x 1) = 103,54
L'écart type annuel est donc √(103,54) = 10,18
On utilise également la log normalité de la cotation pour obtenir des informations sur la distribution de probabilité du taux de rentabilité en continu d'une action.
Entre t = o et T, l'échéance.
Soit η, le taux de rentabilité annuel continu entre t = 0 et l'échéance T alors : ST = S0eŋT.
On peut donc écrire : on en déduit que le taux de rentabilité annuel composé en continu est
distribué normalement. La volatilité d'une action est l'écart type des rentabilités sur une année
exprimée en taux composé continu.
Quand l'échéance est courte donc T petit, σ est sensiblement égal à l'écart type de la variation du
pourcentage du cours de l'action pendant la période T.
Plus l'horizon de l'échéance augmente, plus l'incertitude sur l'écart type augmente et de façon à
peu près proportionnel au carré de l'échéance considérée. Donc l'écart type d'une rentabilité sur
4 semaines est le double de celui sur une semaine.

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