Mémentos LMD - Réussir mémoire, thèse et HDR - 6e - 189

ANNEXE 2 - Applications simples

189

moyennes suit à peu près une loi Normale de moyenne 68 kg à plus ou moins
600 grammes.
3. Mais vous devez vous demander combien de questionnaires vous devez alors envoyer
pour vous attendre à trouver un poids moyen :
3.1. Compris entre 66,8 kg et 68,3 kg : comme la distribution suit une loi Normale de
moyenne 68 kg à environ 600 grammes près d'écart-type, vous pouvez centrer et réduire
cette loi Normale (cloche parfaite, symétrique) pour faciliter les calculs. Le poids moyen
dans les questionnaires est alors exprimé en unités centrées réduites par la formulation :
(μē - μN)/σN = (μē - 68 kg)/0,6 alors, 66,8 kg en unité centrée réduite va donner une valeur
= (66,8 kg - 68 kg)/0,6 = - 2 et 68,3 kg en unité centrée réduite va donner la valeur
= (68,3 kg - 68 kg)/0,6 = 1/2.
Ainsi la proportion d'enquêtes donnant un poids moyen compris entre 66,8 kg et 68,3 kg
est comprise dans l'aire sous la courbe de loi Normale entre z = - 2 et aussi z = 1/2 soit :
[z = - 2 et z = 0] +[z = 0 et z = 1/2].
Il suffit de lire dans une table de loi Normale (ou de chercher avec la fonction statistique
- Loi Normale d'un tableur) et vous trouvez le résultat 0,4772 + 0, 1915 = 0,6687.
Donc le nombre de questionnaires que vous devez recevoir en retour pour que le poids
moyen soit compris entre 66,8 kg et 68,3 kg est de : [80 questionnaires x 0,6687 = 53
questionnaires].
Autrement dit, avec seulement 53 questionnaires retournés, vous ne pouvez pas affirmer
que le poids moyen des jeunes est de 68 kg, mais seulement énoncer qu'il est compris
entre 66,8 kg et 68,3 kg.
3.2. Inférieur à 66,4 kg : comme la distribution suit une loi Normale de moyenne 68 kg à
600 grammes près, vous pouvez la centrer et la réduire pour faciliter les calculs. Alors
66,4 kg en unité centrée et réduite vous donne la valeur suivante : (66,4 kg - 68 kg)/0,6 =
- 2,67.
La proportion de questionnaires ayant montré un poids moyen inférieur à 66,4 kg se détermine par l'aire sous la courbe, entre [z = - 2,67 et z = 0] soit 0,5 - 0,4962 = 0,0038. Donc
un nombre = 80 questionnaires x 0,0038 = 0 questionnaire.
Ainsi vous n'avez aucune chance d'obtenir un poids inférieur à 66,4 kg.
4. L'écart de poids d'une population similaire mais d'adultes est de 10 kg en moyenne. En
recevant des réponses de 200 adultes questionnés, vous pouvez calculer les écarts-types de
poids pour chaque échantillon reçu.
4.1. Dans ce cas, la moyenne des écarts-type σ = μ = 10 kg et l'écart-type de l'écart-type
= σ x 2N-½ = 10 x 400-½ = 0,5 kg. Donc les 10 kg d'écart sont à ± 500 g.
4.2. Si vous voulez déterminer le pourcentage d'échantillons qui auraient un écart-type
supérieur à 11 kg, vous allez centrer et réduire ; soit (11 kg - 10 kg)/0,5 kg = 2 kg. Donc
l'aire sous la courbe Normale en cloche à droite de z = 2 est 0,5 - 0,4772 = 0,0228.
Donc le pourcentage d'échantillons qui aurait un écart-type supérieur à 11 kg, est
de 2,28 %.
4.3. De même, si vous voulez déterminer le pourcentage d'échantillons qui auraient un
écart-type inférieur à 8,8 kg, vous allez centrer et réduire soit (8,8 kg - 10 kg)/0,5 kg =
- 2,4 kg. Donc l'aire sous la courbe Normale de z = - 2,4 est 0,5 - 0,4918 = 0,00082.
Donc le pourcentage d'échantillons qui aurait un écart-type inférieur à 8,8 kg est
de 0,8 %.



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