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L'ESSENTIEL

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DES PRODUITS FINANCIERS DÉRIVÉS

Cette propriété s'énonce ainsi : la distribution de probabilité du cours du titre à une date future ne
dépend pas de la trajectoire spécifique suivie par le prix dans le passé.
Cette propriété est tout à fait révélatrice d'une des propriétés évoquées d'un marché dit efficient
que le cours d'une action intègre également à son historique.

a) Processus stochastique en temps continu
Un processus stochastique est une famille {Yt, t∈I} de variables aléatoires définies sur un même
espace de probabilité, avec t, le temps.
Le processus est dit « en temps continu » si I est continu (I. e I = [0, ∞)). Il est dit « en temps
discret » si I est discret (i.e. I = {0, 1, 2, ...}).

b) Processus de Wiener
Le processus d'évolution d'une variable stochastique en temps continu est appelé processus
de Wiener Standard. C'est un cas particulier de l'utilisation de la propriété de Markov avec des
accroissements espérés nuls et une variance de 1,0 annuel.
Par exemple en physique, ce processus est utilisé pour décrire le mouvement de particules entrechoquées. Ce processus physique est connu sous le nom de mouvement brownien.

c) Processus d'Itô
Le processus d'Itô est un processus stochastique qui se traduit par un processus de Wiener général
ou les variables a et b sont des fonctions de la variable x et du temps t. Il s'écrit alors : Dx = a(x, t)
dt + b(x, t)dz.

d) Lemme d'Itô
La valeur d'un produit dérivé est dépendante des variables stochastiques sous-jacentes du produit
lui-même et également du temps. La valeur d'une option sur action est une fonction du cours de
l'action sous-jacente.
Le mathématicien Kyosi Itô (1951) a établi le résultat suivant :
Soit un processus d'îto Xt, processus de type stochastique ayant la forme suivante :
X t ¼ X 0 þ ∫t0 us ds þ ∫t0 σs dBs



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