Les Carrés DCG 11 - Exercices corrigés - Contrôle de gestion 2016-2017 - 3e - 25
Thème 4
♦ Les lois usuelles de probabilité
3 ♦ Espérance mathématique de S
*G
La loi de probabilité de X étant une loi binomiale, son espérance mathématique, E(X) = np, est égale à 4 × 2 = 8 .
3
3
E(S) = E(X) + 4 = 8 + 4 = 20 = 6,67 €
3
3
Exercice 11 Approximation de la loi binomiale
Une entreprise fabrique et commercialise des produits de consommation courante en très grand nombre. Il y a une
probabilité constante égale à 0,1 qu'un article choisi au hasard dans la production ne satisfasse pas aux normes
imposées.
1. On prélève au hasard 10 articles. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un article non conforme
parmi ces 10 articles.
2. On prélève au hasard 50 articles et on désigne par X le nombre d'articles non conformes parmi ces
50 articles.
- Indiquer la loi suivie par X.
- Montrer que cette loi peut être approchée par une autre loi que vous préciserez.
- À l'aide de cette loi, calculer la probabilité qu'il y ait au moins 5 articles non conformes parmi ces
50 articles.
3. On prélève 500 articles et on désigne par X le nombre d'articles non conformes parmi les 500.
3.1. Indiquer la loi suivie par X.
- Montrer que cette loi peut être approchée par une autre loi que vous préciserez.
- À l'aide de cette loi, calculer la probabilité qu'il y ait plus de 50 articles non conformes parmi ces
500 articles.
3.2. Le coût de revient d'un article est de 20 € et le prix de vente de 30 €. Le client décide de ne pas
régler les articles non conformes. Pour une commande de 500 articles, exprimer le bénéfice en
fonction de X. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de ce bénéfice.
C orrigé
1 ♦ Probabilité : au moins un article non conforme parmi 10 articles prélevés au hasard
Attention, il faut penser à raisonner sur l'événement contraire.
-
La probabilité qu'un article soit conforme (A) est de 1 - 0,1 = 0,90.
-
La probabilité que les 10 articles soient conformes (tirages indépendants) : P(A) = 0,910 = 0,349
Donc probabilité que les 10 articles soient non conformes : P(A) = 1 - 0,349 = 0,651
2 ♦ Loi suivie par X approchée par une autre loi. Probabilité : au moins 5 articles non conformes
parmi ces 50 articles
À chaque tirage, la probabilité que l'article soit non conforme est de 0,1. Cette épreuve est réalisée n = 50 fois. Il s'agit
d'une loi binomiale de paramètres (50 ; 0,1).
n ≥ 50 (n = 50), p est ≤ 0,1 et np ≤ 5( np = 5), les trois conditions sont remplies, cette loi peut être approximée par une
loi de Poisson de moyenne λ = 5.
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