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L'avantage aura donc lieu au bout de 51 750/250 = 207 mois, soit
17 ans et 3 mois.
6. Bonne réponse : 2
Il faut remarquer l'utilisation successive du produit remarquable
(a + b)(a - b) = a² - b².
Ainsi, (x - 1) (x + 1) = x2 - 1 puis (x2 - 1)(x2 + 1) = x4 - 1, et enfin (x4 - 1)
(x4 + 1) = x8 - 1.
7. Bonne réponse : 2
Mettons en équation les données de la question. Soit t1 le temps
entre maintenant et 20h, et t2 le second temps. On a alors t1 = 3t2
et t2 = t1/2 - 1h30. On peut alors résoudre le système, ce qui donne
t2 = 180 minutes ou 3h et donc t1 = 9h, il est donc 11h du matin (20h-9h).

Série

Si on appelle respectivement (x1, y1, z1) et (x2, y2, z2) les nombres
de fléchettes ayant atteint les différents anneaux pour les joueurs 1 et
2, on a alors : 5x1 + 7y1 = 40 (puisque l'on sait qu'il n'a pas atteint le
centre) et 5x2 + 7y2 + 11 = 40 (car une fléchette de ce joueur a atteint
le centre).
De plus, on a x1 + y1 = x2 + y2 + 1. Mais, nous restons avec 3 équations à 4 inconnues, il nous faut donc raisonner de manière inductive, ce qui va être facilité par les nombres premiers de chaque zone.
La seconde équation s'écrit aussi 5x2 + 7y2 = 29 avec x2 et y2 entiers.
Il faut donc essayer les différentes possibilités, comme 29 n'est pas
divisible par 5, il faut au moins 1 fléchette dans l'anneau 7, cela enlèvera 7 points, 22 n'est toujours pas divisible par 5, il en faut donc une
seconde, on arrive alors à 15 points, qui est divisible par 5. Il y aurait
donc 3 flèches dans la zone 5, 2 dans la zone 7 et 1 dans le centre
(11 points) soit 6 flèches.
Avec 6 flèches, le premier joueur a pu également atteindre 40 points
en plaçant 1 flèche dans la zone à 5 points et 5 dans la zone à 7 points.

8

8. Bonne réponse : 2



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