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Thème 6 - La prise en compte des données aléatoires

Si A est l'évènement qu'il y ait 5 articles non conformes. L'évènement contraire A est l'évènement {X = 0 ou X =
1 ou X = 2 ou X = 3 ou X = 4}. Après lecture dans la table :
P(A) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0,0067 + 0,00337 + 0,0842 + 0,1404 + 0,1755 = 0,4405
P(A) = 1 - 0,4405 = 0,5595

3.1. Loi suivie par X
X suit une loi binomiale de paramètre n = 500 et p = 0,1.
n > 30 ou npq > 10 (npq = 45), l'approximation se fait par une loi normale de moyenne m = np = 50, de variance V
= npq = 500 × 0,1 × 0,90 = 45 et d'écart-type σ = 6,71.
P(X > 50) = 1 - P(X < 50)
T = 50 − 50 = 0 d'où P(X > 50) = 1 - P(T < 0) = 1 - 0,50 = 0,5
6,71

3.2. Bénéfice en fonction de X - Espérance mathématique et écart type de ce bénéfice
B = (500 - X) × 30 - 500 × 20 = 5 000 - 30X
E(B) = 5 000 - 30 E(X) = 5 000 - 30 × 50 = 3 500 €
σ(B) = 30 σ(X) = 30 × 6,71 = 201,30 €

Exercice 36
Approximation de la loi de Poisson
La piste d'un aérodrome est utilisée 8 heures par jour. Un avion se pose toutes les 15 minutes.

1.	Déterminer la loi du nombre d'avions qui se posent quotidiennement.
2.	Cette loi peut-elle être approximée par une loi normale ? Si oui, quelle est la probabilité
que le nombre d'avions qui se posent soit compris entre 28 et 34 ?

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