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Chapitre 5 - La prise en compte des données aléatoires
Rappelons que la probabilité que A se réalise est : P(A) = 1 / 6 notée p, et la probabilité que A ne se réalise pas est de 5 / 6 et est notée q.
Si n, le nombre d'épreuves est de 3, alors la probabilité d'obtenir deux 1 sera de : P(X = 2) = C2
n!
3 . q. p2
Rappel : une combinaison Cp
Soit une probabilité de P(X = 2) = 3. ( ) .
1
6
n p!(n − p)!
2
=
5
6
et la factorielle n notée n! = 1 × 2 × 3 × ...... × n.
= 0,0694.
Cette valeur peut être obtenue approximativement par lecture de la table de la loi binomiale.
Les caractéristiques de la loi binomiale sont les suivantes :
Si X ß (n ; p) avec n N et p [0 ; 1], alors :
E(X) = n × p
V(X) = n × p x q
σ (X) = √npq
APPLICATION CORRIGÉE
La probabilité qu'il y ait une erreur dans une facture est de 0,5 %. On teste 25 factures.
1. Quelle loi suit la variable X « nombre d'erreurs » ?
2. Quelle est l'espérance mathématique, la variance et l'écart-type de X ?
3. Quelle est la probabilité qu'il y ait une erreur ? Deux erreurs ? Trois erreurs ?
Correction
1. Quelle loi suit la variable X « nombre d'erreurs » ?
Cette épreuve comporte 2 issues : soit il n'y a pas d'erreur, soit il y a des erreurs. Cette variable suit une loi de Bernoulli. De plus elle
est renouvelée 25 fois. Il s'agit donc d'une loi binomiale X ß (25 ; 0,005).
2. Quelle est l'espérance mathématique, la variance et l'écart-type de X ?
L'espérance mathématique de cette variable est : E(X) = n × p = 25 × 0,005 = 0,125.
La variance est de : V(X) = n × p × q = 25 × 0,005 × 0,995 = 0,124375.
L'écart-type de la variable X est de : σ (X) = 0,3527.
3. Quelle est la probabilité qu'il y ait une erreur ? Deux erreurs ? Trois erreurs ?
25!
La probabilité qu'il y ait une erreur est de : P(X = 1) = C × 0, 005 × 0,995
25!
25
1
La probabilité de deux erreurs : P(X = 2) = C × 0, 005 × 0,995 =
25
2
2
La probabilité qu'il y ait trois erreurs est de : P(X = 3) = C × 0, 005 × 0,995 = 2,57 × 10
25
3
3
22
23
2!.23!
−4
1
24
=
1!.24!
× 2,5 × 10 × 0,8911 = 6,68 × 10
−5
× 0,005 × 0,8866 = 0,11
−3
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