Chapitre 5 - La prise en compte des données aléatoires 4 Le processus de Poisson La réalisation d'un événement est liée à la variable temps. Trois conditions doivent être remplies : - la probabilité de réalisation de l'événement considéré au cours d'un intervalle de temps infiniment petit (dt) est proportionnelle à sa durée ; - cette probabilité est indépendante du nombre de réalisations antérieures de l'événement, et demeure constante au cours de la période d'observation ; - la probabilité que l'événement se réalise plus d'une fois dans le même intervalle de temps (dt) est faible. Le nombre X d'événements réalisés au cours d'un intervalle de temps T est une variable de Poisson de paramètre : λ = p.n avec : - n = T dt = rapport de proportionnalité entre T et dt ; - p = nombre constant de réalisations au cours de l'intervalle de temps dt. APPLICATION CORRIGÉE Dans un centre commercial, il a été constaté qu'entre 13 h et 14 h, lorsqu'une caisse est ouverte, la file d'attente augmente d'un client toutes les 40 secondes. 1. Définir la loi de probabilités du nombre de clients arrivant à la caisse durant 2 minutes. 2. Déterminer la probabilité que ce nombre soit égal à zéro et quatre. Correction 1. Loi de probabilités du nombre de clients arrivant à la caisse durant 2 minutes La loi de probabilités suivie est un processus de Poisson. Soit l'intervalle de temps dt = 40s. L'intervalle T = 2 × 60 = 120. p, le nombre constant de réalisations au cours de l'intervalle dt, est égal à 1. n = 120 / 40 = 3 La variable X « le nombre de clients arrivant à la caisse durant 2 minutes » suit une loi de Poisson de paramètre λ = p.n = 1 × 3 = 3. 2. Probabilité que ce nombre soit = 0 et 4 La probabilité qu'il n'y ait aucun client à la caisse pendant ce laps de temps est de : P(X = 0) = e−3 La probabilité qu'il y ait quatre clients s'élève à : P(X = 4) = e−3 . 34 4! = 0,168. 89 . 30 0! = 0,0498.