Thème 6 - La prise en compte des données aléatoires 3. Déterminer le temps d'attente moyen entre deux voitures à cette période de la nuit. 4. Déterminer l'écart type de T2. Corrigé 1. Probabilité qu'il s'écoule moins de 15 minutes avant le passage de la prochaine voiture P(T < 15) = F(15) = 1 - e-15/15 = 1 - e-1 = 0,632 2. Probabilité qu'aucune voiture ne se présente au péage dans les 3 minutes qui suivent Il s'agit d'une probabilité conditionnelle. Pt>12 (T > 15) = (T > 15) = P T > 15) > T > 12)] P(T > 12) [( ( L'évènement T > 15 étant inclus dans l'évènement T > 12, la probabilité est donc : Pt>12 P(T > 15) P(T > 12) = 1− F 15( ) 1− F 12( ) = e-0,2 = 0,819 La probabilité d'attendre encore 3 minutes est de 81,9 %. 3. Temps d'attente moyen entre deux voitures Soit β le temps d'attente moyen, F(t) = 1 - e-t/β P(T2 > 3) = 0,6065 = e-3/β Le temps moyen d'attente est de 6 minutes. 4. Écart type de T2 L'écart-type pour une loi exponentielle est égal à la moyenne soit 6. d'où - 3 / β = ln(0,6065) et β= 6 Exercice 36 Approximation de la loi binomiale Une entreprise fabrique et commercialise des produits de consommation courante en très grand nombre. Il y a une probabilité constante égale à 0,1 qu'un article choisi au hasard dans la production ne satisfasse pas aux normes imposées. 105