En poche - Mathématiques financières - 7e - 11

non nul appelé la raison, notée q. L'ordre des termes est important, c'est pourquoi
un rang lui est donné.
3q
3q
3q
a1
a2
a1 q
a3
an-1
a2 q
a1 q2
an = an-1 3 q = a1 3 qn-1
avec an le nième terme, a1 le premier terme et n le nombre de termes.
* Si q > 1, alors la suite est croissante.
* Si q < 1, alors la suite est décroissante.
* Si q = 1, alors la suite est constante.
La somme S d'une suite géométrique est :
S =
q 3 Valeur du dernier terme - Valeur du 1er terme
q - 1
= a1 3
qn - 1
q - 1
avec q ≠ 1
Ces suites trouvent leur application lorsqu'il est envisagé une augmentation
constante chaque année (par exemple les salaires augmentent de 1 % chaque
année, le calcul des intérêts composés).
Exemple : Monsieur Trésor signe un contrat de maintenance sur 10 ans. La
valeur initiale est de 1 000 €. Il est envisagé de l'augmenter de 8 % par an.
Combien aura-t-il décaissé à la fin du contrat ?
a1 = 1 000 ; a2 = a1 3 1,08 = 1 080
Nous sommes en présence d'une suite géométrique de raison q = 1,08.
S = 1 000 3
1,0810 − 1
1,08 − 1
= 14 486,56 € montant versé à la fin du contrat.
Parfois la suite peut être arithmétique et géométrique. Dans ce cas :
b
un+1 = a un + b et un = an (u0 - 1 - a
) +
b
1 - a
Exemple : Monsieur Trésor place sur un compte 600 € tous les mois. Chaque
mois, il utilise 20 % de ce qu'il possède sur ce compte.
Quel montant peut-il y avoir au maximum sur ce compte ?
À la fin du premier mois : M1 = 600 - 600 3 20 % = 480 ; à la fin du deuxième
mois : M2 = (480 + 600) 3 0,8 = 864 €.
M2 = (M1 + 600) 3 0,80 = 0,80 M1 + 480. Ceci correspond à une suite arithmétique
et géométrique.
Mn = 0,8n-1 (480 -
1 - 0,8 ) +
480
1 - 0,8 = 0,8n-1 3 (-1 920) + 1 920
480
Quand n tend vers l'infini alors 0,8 n-1 = 0 alors Mn = 1 920 € montant maximum
du compte.
an
an-1 q
a1 qn-1
Les suites

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