Arts&MétiersMag - N°408 - Avril 2019 - 77

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Solution du problème n° 153
proposé dans le numéro de février 2019, p. 77
Rappel de l'énoncé - On choisit au hasard trois points, A, B et C, à l'intérieur d'un cercle ou sur le cercle lui-même.
Quelle est la probabilité de former un triangle acutangle ?

Cl

59

Ces inégalités localisent C dans le
cercle ( ') de diamètre AD, et B dans
les deux petits quadrilatères mixtilignes, coloriés en rose sur la ﬁgure,
voisins des points F et G du cercle ( ').
Soit S(x,t) l'aire délimitée par les
segments AF, AG et l'arc FDG ; l'aire
dévolue à B par les inégalités précédentes est :
S(x + dx,t + dt) - S(x + dx,t) - S(x,t + dt)
+ S(x,t)
Or S(x,t) = x2(2t + sin(2t)), d'où la
probabilité élémentaire de B :
d2S(x,t) / = 8x cos2 t.dx.dt /
Pour former avec A et B (très voisin par
exemple de F) un triangle acutangle,
C doit être contenu dans le domaine
délimité par le segment DF, le demicercle de diamètre AF, le segment AH
parallèle et égal à FD, et l'arc HD, colorié en vert sur la ﬁgure. L'aire correspondante est :

Ils ont
proposé
une
solution
Pierre Bertran
(Ai. 48), JeanPaul Busseuil
(Cl. 64), Philippe
Charbonnier
(Li. 66), Gérard
Gallou (Ch. 70),
Bernard Girard
(An. 59), Adrien
Lair (An. 214),
Yves Laumond
(Ai. 62), Christian
Simon (Ensica
81), Jean Simon
(Cl. 56), Michel
Simon (An. 92),
Claude Terracol
(An. 51), Denis
Villanove (Ai. 52).
Et pour le
problème n° 152:
Alain Alix (Ch. 63),
Thomas Baranger
(An. 207), Jean
Chartier (An. 56),
Vivien Chmielarski
(Li. 214), Achille
Martin (Cl. 215),
Riad Megherbi
(Cl. 215), J.-C.
Paillès, JeanRené Rioual
(Li. 63).

Sans perte de généralité, on peut appeler A le sommet du triangle
le plus éloigné du centre O du cercle ( ). Du fait de l'invariance
du résultat cherché vis-à-vis des dilatations et rotations, on peut
prendre OA comme longueur unité et ﬁxer A sur le cercle ( ). D'un
autre sommet B du triangle, on mène une perpendiculaire à BA
qui coupe la droite AO en D intérieur au cercle unité ( ). On
construit de même E, puis on en tire la loi de 2x = max (AD, AE)
en posant x = AD / 2 et t = DAB .
La probabilité uniforme que B soit contenu dans un domaine
d'aire est / puisque le rayon du cercle ( ) est égal à 1, de même
pour C.
Sans perte de généralité, on suppose d'abord AE < AD comme
sur la ﬁgure ci-dessus et on examine la probabilité de triangle
acutangle quand la conﬁguration vériﬁe :
AE
2

< x < AD < x + dx et t <
2

DAB  AE , on a la probabilité 4 / 2 - 1 / 8.

Problème n° 155 proposé par Jean Chartier (An. 56)
On considère un quadrilatère convexe quelconque ABCD. Extérieurement à chacun des
côtés, on construit les triangles rectangles isocèles M1 AB, M2BC, M3CD et M4 DA.
Démontrez que les segments M1 M3 et M2 M4 sont égaux et perpendiculaires.

Jean Moreau de Saint Martin (X 56)

Les solutions sont à envoyer avant
le 20 mai 2019 avec vos prénom, nom et
promo par courrier postal
à «Arts&MétiersMag», 9 bis, avenue d'Iéna,
75783 Paris Cedex 16
ou par courriel à
ammsolutionstousmatheux@gmail.com
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