Arts&MétiersMag - N°414 - Décembre 2019/Janvier 2020 - 97

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Tous matheux

Cl

59

Ils ont
proposé
une solution
Thomas Baranger
(An. 207), René
Barthelat (Cl. 54),
Pierre Bertran
(Ai. 48), Alain
Blanchard (An. 68),
William Bonfils
(Cl. 214), Jean-Noël
Bonnot (Ai. 67),
André Catillon
(Ai. 52), Philippe
Charbonnier (Li. 66),
Rémi Christory
(Li. 202), Jean-Michel
Ciccone (Bo. 63),
Alain Delahodde,
Jean-Claude Foucriat
(Cl. 49), Gérard
Gallou (Ch. 70),
Georges Giovannini
(Bo. 67), Bernard
Girard (An. 59), Alain
Heuzé (Li. 89), Jackie
Jeangeorges (Ai. 66),
Claude Jobin (An. 66),
Yves Laumond
(Ai. 62), Jacques
Lorteau (An. 63),
Vincent Maguin
(Me. 211), Achille
Martin (Cl. 215),
Jean Moreau de
Saint-Martin, Riad
Mergherbi (Cl. 215),
Guy Moiroud (Ai. 48),
Robert Pavillet
(Ai. 58), Frédéric
Rapin (Ch. 94), JeanRené Rioual (Li. 63),
Jean Simon (Cl. 56),
Michel Simon (An. 52),
Claude Stecher
(Cl. 55), Claude
Terracol (An. 51),
Denis Villanove
(Ai. 52).

Solution du problème n° 159

proposé par Jean-Paul Busseuil (Cl. 64) dans le numéro d'octobre 2019, p. 73.
Rappel de l'énoncé - Pierre et Louis montent en marchant un escalier mécanique en mouvement. Lorsque
Pierre arrive en haut de l'escalier, il a monté 21 marches alors que Louis, avec une vitesse double de celle
de Pierre, en a monté 28. Combien de marches l'escalier possède-t-il au repos ?
Première approche
Soit x le nombre total de marches que possède l'escalier
mécanique au repos et t le temps nécessaire à une marche pour
passer d'une position à la suivante. De cette manière, une
personne au repos mettra, sans action de sa part, un temps x . t
pour monter l'escalier.
Puisque Pierre monte 21 marches, il arrive en haut en un
temps égal à (x - 21)t et, pour monter une marche, il a pris un
21)t . Dans la même logique, pour monter une
temps égal à (x −21
28)t .
marche, Louis met un temps (x −28
Puisque la vitesse de Louis est double de celle de Pierre, le
temps mis par Pierre pour monter une marche est le double de
celui mis par Louis. Ce qui s'écrit :
(x − 21)t = 2 (x − 28)t
21
28 	

1

2(x - 21) = 3(x - 28)
	

3	

D'où x = 42 marches.

	

x − 21 = x − 28
21
14 	

2

2x - 42 = 3x - 84
	

4

Seconde approche
Quand Louis est arrivé en haut de l'escalier, il a monté
28 marches alors que Pierre, qui va deux fois moins vite, n'en a
monté que 14. Il lui reste donc 7 marches à monter à sa vitesse
pour atteindre le haut de l'escalier. Pierre va donc monter une
fois et demie (1,5 fois) plus longtemps que Louis.
Si L est la longueur de l'escalier, VP, VL et VE les vitesses
respectives de Pierre, de Louis et de l'escalier, tP et tL les temps
de montée des deux protagonistes, on peut écrire :
L = (VP + VE)tP = (VL + VE)tL sachant que tP = 32 tL et VL = 2VP
Il vient : VP = VE et VL = 2VE. Ainsi, si on arrête l'escalier en
faisant VE = 0, Louis verra sa vitesse réduite d'un tiers et son
temps de montée augmenté de 50 %.
Le nombre de marches à monter devient alors
1,5 × 28 = 42. 
Jean-Paul Busseuil (Cl. 64), avec
Pierre Dumont (Cl. 59)

Problème
n° 161 Au temps de Charlemagne, un père de famille au soir de sa vie décide
de partager sa fortune entre ses enfants. Au premier enfant, il dit : va au coffre et prends un denier plus un

dixième du reste. Au deuxième : va au coffre après ton frère et, après ce qu'il aura pris, prends deux deniers
plus un dixième du reste. Au troisième : va au coffre après tes frères et, après ce qu'ils auront pris, prends
trois deniers plus un dixième du reste. Et ainsi de suite, jusqu'au benjamin, qui prend le nombre de deniers
correspondant à son rang et rien de plus, car le coffre est vide... Combien y a-t-il d'enfants ? Quelle somme
contenait le coffre et comment celle-ci a-t-elle été répartie entre les enfants ?

Les solutions sont à envoyer avant le 17 février 2020 par courrier postal à
Arts&MétiersMag, 9 bis, avenue d'Iéna, 75783 Paris cedex 16 ou par courriel à ammsolutionstousmatheux@gmail.com
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