Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 97

Culture&Loisirs
Tous matheux

Cl

59

Ils ont
proposé
une solution
René Barthelat
(Cl. 54), Pierre
Bertran (Ai. 48),
Alain Blanchard
(An. 68), Gérard
Bruyère (Cl. 56),
Jean-Paul
Busseuil (Cl. 64),
Laurent David
(An. 85), Alain
Delahodde,
Jean-Claude
Foucriat (Cl. 49),
Gérard Gallou
(Ch. 70), Georges
Giovannini
(Bo. 67), Bernard
Girard (An. 59),
Maurice
Jacquelin
(Ch. 48), Jackie
Jeangeorges
(Ai. 66), Claude
Jobin (An. 66),
Jean-Pierre
Lamoitier (Li. 57),
Didier Lasne
(Me. 216), Yves
Laumond (Ai. 62),
Jacques Lorteau
(An. 63), Frédéric
Rapin (Ch. 94),
Jean Simon
(Cl. 56), Michel
Simon (An. 52),
Claude Terracol
(An. 51), Nicolas
Terrasson
(Ch. 93), Frédéric
Tremblay (Bo 78),
Denis Villanove
(Ai. 52).

proposé dans le numéro de décembre 2019-janvier 2020, p. 97.
Rappel de l'énoncé - Au temps de Charlemagne, un père de
famille au soir de sa vie décide de partager sa fortune entre
ses enfants. Au premier enfant, il dit : va au coffre et prends un
denier plus un dixième du reste. Au deuxième : va au coffre après ton frère et,
après ce qu'il aura pris, prends deux deniers plus un dixième du reste. Au
troisième : va au coffre après tes frères et, après ce qu'ils auront pris, prends
trois deniers plus un dixième du reste. Et ainsi de suite, jusqu'au benjamin, qui prend le nombre de deniers
correspondant à son rang et rien de plus, car le coffre est vide. Démontrez qu'après cet étonnant partage, les
frères ont tous hérité de la même somme. Combien y a-t-il d'enfants et quelle somme contenait le coffre ?

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin (X56)
Il y a n enfants, qui récupèrent une fraction 1/d de ce qui reste au
coffre (d = 10). Dans le coffre, il y a r0 deniers au départ et ri deniers
quand i enfants se sont servis (rn = 0).

ri = ri - 1 - i -   ri - 1 - i pour 1 ≤ i ≤ n
d

On peut résoudre de proche en proche
0 = rn = (1 - 1/d) rn - 1 - n(1 - 1/d)
= (1 - 1/d)2 rn - 2 - (n - 1)(1 - 1/d)2 - n(1 - 1/d)
=...
= (1 - 1/d)n - i ri moins i termes
= (1 - 1/d)n r0 moins n termes.
Pour contourner ces termes complémentaires, je construis un
invariant, expression qui gardera la même valeur quand on passera
d'un enfant à l'autre.
ri y figurera sous la forme (1 - 1/d)n - i ri et, comme
(1 - 1/d)n - i + 1 ri - 1 - (1 - 1/d)n - i ri = i(1 - 1/d)n - i + 1,
il faut un correctif dans l'expression.
J'essaie l'expression (1 - 1/d)n - i (ri - ai - b), où les coefficients a, b,
indépendants de i, doivent vérifier
(1 - 1/d) [a(i - 1) + b] - ai - b = i(1 - 1/d),
pour donner 0 quand on soustrait membre à membre de
(1 - 1/d)ri - 1 - ri = i(1 - 1/d).
Coefficients de i : - a/d = 1 - 1/d, donc a = 1 - d ;
puis - b/d - a(1 - 1/d) = 0, b = - a(d - 1) = (d - 1)2.
D'où l'invariant (1 - 1/d)n - i [ri + i(d - 1) - (d - 1)2]
Égalité des valeurs en i = 0 et i = n :
[r0 - (d - 1)2] (d - 1)n/dn = rn - (d - 1) (d - 1 - n)
= - (d - 1) (d - 1 - n)
Au premier membre, le facteur (d - 1)n du numérateur est premier
avec le dénominateur dn. Il devrait diviser (d - 1)(d - 1 - n), qui est
bien plus petit.
C'est impossible à moins que les deux membres soient nuls !
Donc n = d - 1, c'est le nombre d'enfants, l'invariant vaut 0,
r0 = (d - 1)2, c'est le contenu initial du coffre,
ri = (d - 1)(d - 1 - i),
l'enfant i reçoit ri − 1 - ri = d - 1, même montant pour chacun.
Avec d = 10, les 81 deniers du coffre sont également répartis entre
neuf enfants.

Solution de Philippe Charbonnier (Li. 66)
À partir du système d'équations
ri = ri - 1 - i - (ri - 1 - i)/d et de rn = 0, on tire rn - 1 = n,
puis n = rn - 1 = (rn - 2 - n + 1)(1 - 1/d),
d'où rn - 2 = n - 1 + dn/(d - 1),
puis n - 1 + dn/(d - 1) = rn - 2 = (rn - 3 - n + 2)(1 - 1/d),
d'où rn - 3 = n - 2 + n( d )2 + (n - 1) d
d -1

d -1

On commence à voir la loi de formation des ri et on vérifie par
récurrence que :
rn - j = n - j + 1 + n( d )j - 1 + (n - 1)( d )j - 2 + ... + (n - j + 2)( d )1 
d -1

d -1

d -1

r0 = 1 + n( d )n - 1 + (n - 1)( d )n - 2 + ... + 2( d )1 
d -1

d -1

d -1

Nous sommes en présence d'une expression de la forme :
f(x) = 1.x0 + 2.x1 + 3.x2 + ... + k.xk - 1
k+1
qu'on intègre : ∫ f(x)dx = x1 + x2 + x3 + ... + xk = 1 - x - 1
1-x

k
et qu'on dérive à nouveau: f(x) = 1 + kx  - (k2 + 1)x
k+1

(1 - x)

La transposition au cas présent donne :

r0 =

1 + n( dd-1 )n + 1 - (n + 1)( dd-1 )n
n+1
n
= (d - 1)2 + (dnd
- (n + 1) d n - 2
- 1)n - 1
(1 -  dd-1 )2
(d - 1)

= (d - 1)2 + ( dd-1 )n - 1 [nd + d - d2]
La valeur r0 devant être un entier alors que ( d )n - 1 ne l'est pas, on
d -1
déduit que nd + d - d2 = 0,
donc n = d - 1 et r0 = (d - 1)2, chaque enfant recevant (d - 1) deniers. 
Pierre Dumont (Cl. 59)

Problème n° 163
proposé par André Catillon (Ai. 52)

Le pas de tir d'un missile est situé en M au milieu d'un
segment BC aux extrémités duquel sont installés deux
détecteurs. Lors d'un tir vers une cible en A, déterminez
l'angle de guidage du segment MA par rapport à BC en
fonction des angles de suivi détectés en B et en C.

Les solutions sont à envoyer avant le 30 avril
par courrier postal à
Arts&MétiersMag, 9 bis, avenue d'Iéna, 75783 Paris cedex
16 ou par courriel à ammsolutionstousmatheux@gmail.com
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Solution du problème n° 161
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