Arts&MétiersMag - N°417 - Avril 2020 - 73

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Solution du problème n°162

Cl

proposé dans le numéro de février 2020, p. 81
Rappel de l'énoncé - Un puzzle est constitué de n = 100 morceaux qu'on peut trouver dans des paquets de
biscottes (on suppose qu'ils y sont placés de façon indépendante et uniformément). Un collectionneur acharné
décide d'acheter des paquets de biscottes jusqu'à rassembler les n pièces du puzzle. Soit Xn la variable aléatoire
égale au nombre de paquets achetés. Quelle est la valeur moyenne de Xn pour n = 100?

59

Ils ont
proposé
une solution
Pierre Bertran
(Ai. 48), Alain
Blanchard
(An. 68), Philippe
Charbonnier
(Li. 66), JeanMichel Ciccone
(Bo. 63), Claude
Foucriat (Cl. 49),
Bernard Girard
(An. 59), Jackie
Jeangeorges
(Ai. 66), Hadrien
Keller (Ch. 217),
Yves Laumond
(Ai. 62), Jacques
Lemeray (An. 81),
Jean Moreau de
Saint-Martin,
Jean Simon
(Cl. 56), Claude
Terracol (An. 51),
Denis Villanove
(Ai. 52).
Pour le problème
n° 161 : Éric
Français (Cl. 82).
Pour le problème
n° 160 : Andy
Berth (An. 67),
Jean-Marc
Ollivier (An. 69).
Pour le problème
n° 159 : Christian
Lecoq (Li. 61),
Jean-Marc
Ollivier (An. 69).

Supposons que n − 1 pièces du puzzle ont déjà été obtenues.
La probabilité d'obtenir la énième pièce avec 1 achat est p = 1/n
(répartition uniforme des pièces du puzzle dans les paquets de
biscottes) et la probabilité de ne pas l'obtenir est donc :
1 − p = 1 − 1/n.
La probabilité de l'obtenir avec 2 achats est :
(1 − p) p (premier achat infructueux).
La probabilité de l'obtenir avec 3 achats est :
(1 − p)2 p (deux premiers achats infructueux).
La probabilité de l'obtenir avec k achats est :
(1 − p) k - 1 p (k − 1 premiers achats infructueux).
Cette loi de probabilité est la loi géométrique de paramètre p
dont l'espérance mathématique est égale à 1/p.
À l'étape précédente (n − 2 pièces acquises), la probabilité p
d'en obtenir une de plus devient 2/n, puis 3/n... jusqu'à n/n = 1
(la probabilité d'obtenir une première pièce lors du premier
achat est égale à 1).

Toutes ces étapes étant considérées comme indépendantes,
l'espérance mathématique recherchée est la somme des
espérances correspondant à chaque étape, soit :
n

Xn =
k=1

n = n + n + n + ... + n + n = n(1+ 1 + 1 + ... + 1 + 1 )
k 1 2 3
n-1 n
2 3
n-1 n

La dernière parenthèse est une série harmonique tronquée dont
la somme approchée est égale à :
ln n + + 1/2n, étant la constante d'Euler = 0,5772
Si n = 100, le nombre moyen de paquets de biscottes à acheter
pour compléter la collection est :
100(ln 100 + 0,5772 + 1/200) ≈ 519, ce qui constitue une
bénédiction pour les marchands de biscottes !
Une suite de 10 000 simulations avec Python donne le résultat
suivant : nombre de paquets = 518, 4 ± 3,7 au seuil de 99,7 % de
confiance. 
Jackie Jeangeorges (Ai. 66) et
Pierre Dumont (Cl. 59)

Problème n° 164 proposé par Jean-Paul Busseuil (Cl. 64)*
On donne trois points A, C, C' en
ligne droite. Par C et C', on fait
passer une circonférence
quelconque de centre O qui coupe
en D et D' la perpendiculaire à CC'
en son milieu.
* La droite AD recoupe la
circonférence en E. Démontrez que
la droite ED' passe par un point fixe
A' situé sur la droite ACC' quelle
que soit la position du centre O.

* La tangente en E à la
circonférence (O) passe aussi par
un point fixe M situé sur ACC'.
* On donne un quatrième point B
sur la droite ACC'. La droite BD'
recoupe la circonférence (O) en E'.
La tangente en E' à la circonférence
passe par un point fixe M' (2e
partie). P étant le point de
rencontre des deux tangentes ME
et M'E', démontrez que la somme

PM + PM' est constante, par la
géométrie pure d'abord et, ensuite,
par le calcul en exprimant
PM + PM' en fonction de IA = a, IB =
b et IC = c.
* Les droites AD et BD' se coupent
en Q ; les droites DE' et ED' en R.
Montrez que P est le milieu de RQ.
* Problème du concours d'admission à Arts et
Métiers de 1926.

Les solutions sont à envoyer avant le 29 mai par courrier postal à
Arts&MétiersMag, 9 bis, avenue d'Iéna, 75783 Paris cedex 16 ou par courriel à ammsolutionstousmatheux@gmail.com
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