Arts&MétiersMag - N°427 - Mai 2021 - 74

CULTURE & LOISIRS TOUS MATHEUX
Pierre Dumont
(Cl. 159)
Réponse au problème n° 172
PROPOSÉ DANS LE NUMÉRO DE MARS 2021, P. 74
RAPPEL DE L'ÉNONCÉ Lors d'une soirée, dix hommes laissent leur chapeau, tous de même style, au vestiaire.
À la sortie, la très fantaisiste personne du vestiaire rend les chapeaux au hasard. Quelle est la probabilité qu'au moins
un homme reparte avec son propre chapeau ? (1)
Nous allons tout d'abord faire un rappel sur le calcul des dérangements. Soit n un nombre entier naturel
non nul et E un ensemble de cardinal n. On appelle dérangement de E toute permutation de E ne laissant
aucun de ses éléments invariants. On dit aussi : permutation sans point fixe. Ce qu'on peut illustrer par la
figure ci-dessous.
a
1 2 3 4
b 1 2 4 3
c
d 1 3 4 2
e
f
1 4 2 3
1 4 3 2
g 2 1 3 4
h 2 1 4 3
i
j
2 3 1 4
2 3 4 1
k 2 4 1 3
l
2 4 3 1
m 3 1 2 4
n 3 1 4 2
o 3 2 1 4
p 3 2 4 1
q 3 4 1 2
r
3 4 2 1
s 4 1 2 3
t 4 1 3 2
u 4 2 1 3
v 4 2 3 1
w 4 3 1 2
x 4 3 2 1
b
h, j,
k, n,
q, r,
s, w,
x
A4
Problème
On a représenté les 24 permutations d'un ensemble
de cardinal 4 en leur associant une lettre de
l'alphabet de a à x et surligné en jaune les éléments
conservant un point fixe. Les sous-ensembles A1
A4
à
regroupent les éléments dont au moins un des
chiffres de 1 à 4 reste à sa place et leur union
représente l'ensemble des éléments non dérangés.
On constate ainsi qu'il y a neufs éléments dérangés :
h, j, k, n, q, r, s, w, x.
Soit D(n) le nombre de dérangements dans un
ensemble de cardinal n. Il s'évalue par la fonction
sous-factorielle notée !n :
D(n) = !n = n! - card( Ai
On démontre (2)
)
D(n) = !n = n!
n![1 - 1
1!
+ 1
2!
Avec : limn
n
k = 0
- 1
3!
(- 1)k
k!
n
i = 1
la formule suivante :
=
+...(-1)n
D(n)
n!
= e- 1
1
n!
]
= 0,3678794412...
(1) Source : villemin.gerard.free.fr/Puzzle/Chapeau.htm
(2)
fr.wikiversity.org/wiki/formule du crible
Dans le cas de notre énigme, le nombre de
dérangements des chapeaux devient :
D(10) = 10![1 - 1
1!
+ 1
2!
- 1
3!
+ ... + 1
10
] = 1334961
et la probabilité qu'aucun chapeau ne soit remis à
son propriétaire est :
P(10) = D(10)
10!
= 1334961
3628800
= 0,3678...
1
e
Et, finalement, la probabilité qu'au moins un
homme reparte avec son chapeau vaut 1 - P(10) =
0,63212... Valeur très proche de 1 - 1
e , valable
quel que soit le nombre de chapeaux supérieur à 10
jusqu'à l'infini.
Pierre Dumont (Cl. 159)
LES SOLUTIONS
SONT À ENVOYER AVANT LE
5 juillet 2021
par courrier postal à :
Arts&Métiers mag,
9 bis, avenue d'Iéna,
75783 Paris cedex 16
ou par courriel à :
ammsolutionstousmatheux@gmail.com
74
Arts&MétiersMAG
N°427 / Mai 2021
o
i, m g
n°
174
Trouvez une fonction f(x) dont
la dérivée est égale à sa fonction
réciproque f- 1
(x).
a
v
p, u
A2
1 3 2 4
A1
l, t
d, e
c
f
A3
Ils ont proposé
une solution
Pierre Bertran (Ai. 148)
Alain Blanchard (An. 168)
Jean-Paul Busseuil (Cl. 164)
Philippe Charbonnier (Li. 166)
Jean-Michel Ciccone (Bo. 163)
Jean-Claude Foucriat (Cl. 149)
Bernard Girard (An. 159)
Claude Jobin (An. 166)
Yves Laumond (Ai. 162)
Achille Martin (Cl. 215)
Riad Megherbi (Cl. 215)
Jean-Marc Ollivier (An. 169)
Michel Simon (An. 152)
Claude Terracol (An. 151)
Denis Villanove (Ai. 152)
Problème 171
Alain Blanchard (An. 168)
Nelson Gomes (Bo. 200)
Laurent Noyelle (Ch. 187)
PHOTO ADOBESTOCK
PHOTO DR
http://villemin.gerard.free.fr/Puzzle/Chapeau.htm http://fr.wikiversity.org/wiki/formule
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