Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 74

CULTURE & LOISIRS TOUS MATHEUX
Pierre Dumont
(Cl. 159)
Ils ont proposé
une solution
Réponse au
problème n° 177
PROPOSÉ PAR JEAN CHARTIER (AN. 156)
DANS LE NUMÉRO D'OCTOBRE 2021, P. 74
RAPPEL DE L'ÉNONCÉ On donne un cercle (C)
de centre O et de rayon R et un point H strictement
intérieur à (C) avec OH = d constant. H étant
l'orthocentre d'un triangle ABC inscrit dans (C), démontrez
que la somme des carrés des côtés de ABC est constante
et évaluez-la en fonction de R et d.
Jean-Paul Busseuil (Cl. 164)
Philippe Charbonnier (Li. 166)
Jean-Michel Ciccone (Bo. 163)
Michel Delatte (Ch. 163)
Jean-Claude Foucriat (Cl. 149)
Gérard Gallou (Ch. 170)
Georges Giovannini (Bo. 167)
Bernard Girard (An. 159)
Claude Jobin (An. 166)
Yves Laumond (Ai. 162)
Jean-Marc Ollivier (An. 169)
Pierre Saunier (Cl. 168)
Michel Simon (An. 152)
Denis Villanove (Ai. 152)
Considérons le point G isobarycentre de ABC et les propriétés
de la droite d'Euler du triangle. On a :
OG = 1
3 OH soit OG = d
3.
Ce problème donne l'occasion de se remémorer la
fonction scalaire de Leibniz. En attribuant à chaque
sommet du triangle le poids 1, on obtient :
MA2
Évaluons vectoriellement chaque côté du triangle à
partir du point G :
AB = GB - GA AB2
BC = GC − GB BC2
CA = GA − GC CA2
= GB2
= GC2
= GA2
D'où on déduit :
AB2
+ BC2 + CA2 = 2(GA2
+ GA2
+ GB2
+ GC2
− 2GA.GB
− 2GB.GC
− 2GC.GA
B
+ GB2 + GC2) − 2(GA.GB + GB.GC + GC.GA) 2
En considérant que GA + GB + GC = 0, on peut écrire :
GA.GB + GA.GC = GA(GB + GC) = − GA 2
GB.GA + GB.GC = GB(GA + GC) = − GB2
GC.GA + GC.GB = GC(GA + GB) = − GC2
Ce qui modifie l'équation 2 de la façon suivante :
AB2
+ BC2 + CA2 = 3(GA2
+ GB2 + GC2) = 3k
Reprenons l'équation 1 en confondant les points M et O centre du cercle (C) :
OA2
+ OB2 + OC2 = 3OG2 + k
− d2
3 , d'où finalement :
3
Compte tenu que OA = OB = OC = R et OG = d
k = 3R2
AB2 + BC2 + CA2 = AB2 + BC2 + CA2 = 9R2 - d2
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N°432 / Décembre 2021-janvier 2022
3, l'équation 3 donne
C
A
Problème
+ MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 =3MG2 + k 1
G
H
O
n°
179
proposé par Yves Laumond
(Ai. 162)
C'est le problème de Larrosa
Cañestro. ABCD est un carré.
P' et P " sont deux points situés
sur le côté CD tels que les droites
AP' et BP " se coupent en
un point P. Les points I, J, K et R
sont les centres des cercles inscrits
dans les triangles respectifs APB,
CP " B, DP'A et PP'P " .
Montrez que I, J, K et R sont
cocycliques.
LES SOLUTIONS
SONT À ENVOYER AVANT LE
4 février 2022
en indiquant clairement
vos prénom, nom et promo
par courrier postal à :
Arts & Métiers mag,
9 bis, avenue d'Iéna,
75783 Paris cedex 16
ou par courriel à :
ammsolutionstousmatheux@gmail.com
ILLUSTRATION PIXABAY
PHOTO DR

Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022

Table des matières de la publication Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022

ÉDITO
SOMMAIRE
CONTRIBUTEURS
LE MOT DU PRÉSIDENT
À LA UNE
- Indicateurs
- Revue de presse
- Parcours – Pierre-Louis Schmitt (Li. 204), le souffle dans le sang
- Mouvements
ENTREPRISE
- Usine du futur – Symbio, une usine pilote avant le grand saut
- Usine du futur – Qérys, une flottille de robots débarque dans l’entrepôt
- Start-up – Effigear, la petite boîte qui change de vitesse – CWS Morel donne des ailes aux bateaux
EXPERTISE
- Technique – La physique au service de l’industrie dans le soudage
- Ressources humaines – Comment le coronavirus influence les recrutements
- Métier – Un cocktail de données ? Santé !
- Assurances – La responsabilité civile de l’aéronautique
- Livres - Dans la bibliothèque de la rédaction
DOSSIER - RÉINDUSTRIALISATION
- L’État remonte à bord – Dix ans de soutien – EFI rapatrie 50 emplois de Turquie – Aigle gagne avec le «made in France»
- David Cousquer, fondateur de Trendeo : «Interrompre les aides trop brutalement serait risqué»
- Lyon bichonne son industrie – Redonner la main aux collectivités territoriales
ÉCOLE DE LA TECHNOLOGIE
- Au coeur des labos – Voler léger avec des composites
- Formation – Les bonnes fondations d’Ingénum
CONFÉRENCES & DÉBATS
- Conférence – AMBA séduit de futurs anges – Intervention d’Éric Benhamou (Ai. 172), fondateur de Benhamou Global Ventures
- Rapport – La techno, discipline mal-aimée du collège
- L’humeur de Jean-Baptiste Micewicz (Cl. 177) – Le billet de Michel Harmant (Ch. 161)
HISTOIRE & PATRIMOINE
- Grande figure – Alexis Savary (An. 1867), le train d’enfer d’un sénateur
LA TUYSSE
- Événement – Thierry Lucotte (Cl. 177), 59e président de la Soce
- Fondation – Le monde, un tremplin vers l’avenir
- Vie de famille – In Memoriam Jacques Meunier (An. 163) – Carnet
CULTURE & LOISIRS
- À lire – lectures de fêtes
- A voir
- Tous matheux
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 1
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 2
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - ÉDITO
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 4
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - SOMMAIRE
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - CONTRIBUTEURS
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - LE MOT DU PRÉSIDENT
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - À LA UNE
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Indicateurs
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Revue de presse
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Parcours – Pierre-Louis Schmitt (Li. 204), le souffle dans le sang
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Mouvements
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 13
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Usine du futur – Symbio, une usine pilote avant le grand saut
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 15
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Usine du futur – Qérys, une flottille de robots débarque dans l’entrepôt
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 17
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 18
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Start-up – Effigear, la petite boîte qui change de vitesse – CWS Morel donne des ailes aux bateaux
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Technique – La physique au service de l’industrie dans le soudage
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 21
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Ressources humaines – Comment le coronavirus influence les recrutements
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 23
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Métier – Un cocktail de données ? Santé !
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 25
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 26
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 27
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Assurances – La responsabilité civile de l’aéronautique
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 29
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - Livres - Dans la bibliothèque de la rédaction
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 31
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - L’État remonte à bord – Dix ans de soutien – EFI rapatrie 50 emplois de Turquie – Aigle gagne avec le «made in France»
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 33
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 34
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 35
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 36
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Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 39
Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 40
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Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - David Cousquer, fondateur de Trendeo : «Interrompre les aides trop brutalement serait risqué»
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Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 62
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Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - 66
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Arts&MétiersMag - N°432 - Décembre 2021/Janvier 2022 - - À lire – lectures de fêtes
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