Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 74
CULTURE & LOISIRS TOUS MATHEUX
Pierre Dumont
(Cl. 159)
Ils ont proposé
une solution
Réponse au problème n° 183
l
m.n
m = 250 et n = 243.
A
A
d1 = x l
m
l
n
et d1 - d2 = l ( x
m
- y
n
)
1
2
B
B
Soient d1 et d2 les distances à l'extrémité A de la xe division de la droite (1) et de la ye
d2 = y l
l
division de la droite (2).
d'où : nx - my = m.n (d1 - d2)
Or nx − my est un nombre entier dont la plus petite valeur numérique est 1. La plus petite valeur de
m.n
Il y a deux groupes de divisions pour lesquelles d1 - d2 =
Ils sont donnés par les équations : nx − my = 1
(d1 - d2) est donc aussi 1, ce qui revient à dire que la plus petite valeur de d1 - d2 est
l
m.n
nx − my = − 1
APPLICATION NUMÉRIQUE
Pour m = 250 et n = 243, nous avons à résoudre les équations indéterminées : 243x − 250y = ± 1 1
Ce sont des équations diophantiennes de la forme Ax + By = C dont il faut trouver le plus grand
commun diviseur (PGCD) de A et B de façon à les ramener sous la forme ax + by = 1.
D'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs x0 et y0 tels que ax0 + by0 = 1 qu'il faut
trouver dans le cas présent où a = 243 et b = 250.
Pour cela, on utilise l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD de a et b qui vaut 1 puisqu'ils sont
premiers entre eux :
Étape b a quotient reste
250 243
1
2
1
243
7
3 7 5
4 5 2
5 2 1
Étape 3
34
1
2
2
Étape 2
7
calcul
250 = 243 + 7
5 243 = 7 5 34 + 5
2
1
7 = 5 + 2
5 = 2 5 2 + 1
Puis on le remonte à l'envers pour déterminer une solution particulière de l'équation :
Étape 4
1 = 5 - 2 5 2
2 = 7 - 5 5 1
1 = 5 - (7 - 5 5 1) 5 2
1 = - 7 5 2 + 5 5 3
5 = 243 - 7 5 34
1 = - 7 5 2 + (243 - 7 5 3) 5 3
1 = 243 5 3 - 104 5 7
Étape 1
7 = 250 - 243 5 1
1 = 243 5 3 - 104 5 (250 - 243 5 1)
1 = 243 5 107 - 250 5 104
On trouve x0 = 107 et y0 = 104 dans le cas où le second membre de 1 vaut 1 et x0 = - 107 et y0 = - 104
dans le cas où le second membre de 1 vaut - 1.
La comparaison des équations ax + by = 1 et ax0 + by0 = 1 montre que a(x − x0) = − b(y − y0).
Comme a et b sont premiers entre eux, le théorème de Gauss implique que (x - x0) est multiple de b et
que (y - y0) est multiple de a. Donc, on peut écrire :
x - x0 = k.b
et y - y0 =k.a
k Z
Dans le cas où le second membre de 1 vaut - 1, avec k = 1 :
x1 = − 107 + 250 = 143
y1 = − 104 + 243 = 139
Nous avons donc bien deux groupes de divisions pour lesquelles d1 - d2 =
x = 107, y = 104 et x = 143, y = 139
l
m.n
Pierre Dumont (Cl. 159)
74 Arts&MétiersMAG
N°438 / septembre 2022
:
LES SOLUTIONS
SONT À ENVOYER AVANT LE
24 octobre 2022
en indiquant clairement
vos prénom, nom et promo
par courrier postal à :
Arts & Métiers mag,
9 bis, avenue d'Iéna,
75783 Paris cedex 16
ou par courriel à :
ammsolutionstousmatheux@gmail.com
l
m.n
Problème
n°
185
proposé par Alain Delahodde (ESE 1975)
Un vieil électricien à la retraite
retrouve dans ses tiroirs un paquet
de résistances, toutes identiques et
égales à 2 700 ohms, dont il n'a plus
que faire. L'idée lui vient de ressortir
son vieux fer à souder et d'en
assembler 30 d'entre elles, comme
arêtes, pour confectionner un
magnifique icosaèdre régulier.
Et, comme dans le tiroir d'à côté se
trouve son très vieil ohmmètre
encore en état, il a l'idée saugrenue
de mesurer la résistance électrique
de son ouvrage entre deux
sommets opposés.
Saurez-vous anticiper le résultat
de sa mesure ?
Une autre idée, encore plus
saugrenue, lui vient de refaire
la manip' avec 30 nouvelles
résistances en confectionnant
cette fois un dodécaèdre régulier.
Saurez-vous deviner le résultat
de cette nouvelle mesure ?
PROPOSÉ DANS LE NUMÉRO DE MAI 2022, P. 74
RAPPEL DE L'ÉNONCÉ Deux lignes égales ayant une longueur commune l sont divisées respectivement en
m et en n parties égales, m et n étant deux nombres premiers entre eux. On les place à côté l'une de l'autre
avec leurs extrémités en coïncidence. Montrez que la plus petite distance entre deux divisions ne peut être
moindre que
et qu'il y a deux groupes de divisions qui sont à cette distance. Application numérique :
Philippe Artiges (Ai. 159)
Pierre Bertran (Ai. 148)
Alain Blanchard (An. 168)
Jean-Paul Busseuil (Cl. 164)
Philippe Charbonnier (Li. 166)
Michel Ciccone (Bo. 163)
Laurent David (An. 185)
Michel Delatte (Ch. 163)
Jean-Claude Foucriat (Cl. 149)
Georges Giovannini (Bo. 167)
Bernard Girard (An. 159)
Claude Jobin (An. 166)
Yves Laumond (Ai. 162)
Achille Martin (Cl. 215)
Riad Megherbi (Cl. 215)
Jean Simon (Cl. 156)
Claude Terracol (An. 151)
PHOTO DR
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022
Table des matières de la publication Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022
ÉDITO
SOMMAIRE
CONTRIBUTEURS
LE MOT DU PRÉSIDENT
À LA UNE
- Indicateurs
- Revue de presse
- Parcours – Philippe Pupin (Bo. 192), à bord des vols d’essais
- Mouvements
ENTREPRISE
- Technologie – Détonnant Packinox
- Start-up – Airthium, gonflé à bloc – La Biche-Renard, apprendre en faisant
EXPERTISE
- Ressources humaines – Recruter à l’autre bout du monde
- Assurances – La RC passe sur le billard
- Livres – Dans la bibliothèque de la rédaction
DOSSIER - TRANSPORT MARITIME
- Le branle-bas du transport maritime
- La transformation numérique est sur le pont
ÉCOLE DE LA TECHNOLOGIE
- Au coeur des labos – Perspective sombre pour l’hydrogène – Mieux contrôler ses ailes
- Formation – Le Cnam et l’Ensam, ensemble vers le futur
- L’actualité des campus – L’hydrogène, au coeur des recherches à Bordeaux – Des Texans en immersion à Aix – Apprendre avec Abdou Sall
CONFÉRENCES & DÉBATS
- Courrier des lecteurs
- L’humeur de Jean-Baptiste Micewicz (Cl. 177)
- Le billet de Michel Harmant (Ch. 161)
HISTOIRE & PATRIMOINE
- Grandes Figures – Hyacinthe Mozet (Ch. 1840), maître d’œuvre de chefs-d’oeuvre
- Mémoire de Gadzarts – Pas de babache à l’ENP d’Armentières
LA TUYSSE
- Événement – Les bourses, nouvelle formule
- Soce – Tristan Alexandre (Bo. 220) : écrivain, peintre et futur ingénieur
- Union des élèves – Kifékoi à l’UE
- Fondation-Soce – «Le legs avec charge est une disposition avisée pour les proches»
- Soce – L’AG de printemps fait ses comptes
- Vie de promo – La croisière s’amuse
- Vie de famille – In Memoriam Hubert Labonne (An. 157) – Carnet
CULTURE & LOISIRS
- À lire – À voir
- Tous matheux
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 1
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 2
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - ÉDITO
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 4
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - SOMMAIRE
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - CONTRIBUTEURS
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - LE MOT DU PRÉSIDENT
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - À LA UNE
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - Indicateurs
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - Revue de presse
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 11
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - Parcours – Philippe Pupin (Bo. 192), à bord des vols d’essais
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - Mouvements
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 14
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 15
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - Technologie – Détonnant Packinox
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 17
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 18
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - Start-up – Airthium, gonflé à bloc – La Biche-Renard, apprendre en faisant
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - Ressources humaines – Recruter à l’autre bout du monde
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 21
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - Assurances – La RC passe sur le billard
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 23
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - Livres – Dans la bibliothèque de la rédaction
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 25
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - Le branle-bas du transport maritime
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 27
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 28
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 29
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 30
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 31
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 32
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 33
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - La transformation numérique est sur le pont
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 35
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - - Au coeur des labos – Perspective sombre pour l’hydrogène – Mieux contrôler ses ailes
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 37
Arts&MétiersMag - N°438 - Septembre 2022 - 38
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