Arts&MétiersMag - N°439 - Octobre 2022 - 74

CULTURE & LOISIRS TOUS MATHEUX
Pierre Dumont
(Cl. 159)
Réponse au problème n° 184
Ils ont proposé
une solution
PROPOSÉ PAR CLAUDE JOBIN (AN. 166) DANS LE NUMÉRO DE JUIN-JUILLET 2022, P. 74
RAPPEL DE L'ÉNONCÉ Toto veut aller voir sa copine, Titine, mais une rivière aux rives parfaitement parallèles
les sépare. Elle s'écoule d'est en ouest. Toto habite à une certaine distance au sud tandis que Titine
réside au nord, également à une certaine distance de la rive, mais en aval de la maison de Toto. Il n'y a pas
de pont, Toto va devoir traverser la rivière à la nage. Il nage plein nord mais le courant le déporte vers l'aval
de telle sorte que sa trajectoire est une droite inclinée. Comme Toto est un scientifique, il applique le
principe de Fermat : la nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples.
Sans aucun calcul, construisez à la règle et au compas la trajectoire de Toto. Quelle sera sa trajectoire de
retour ? Peut-on en faire une interprétation imagée et, si oui, avec quels phénomènes physiques peut-on
établir une comparaison ?
B
FIG. 1, ALLER
B
N D
C
M
A'
A
Q
A
F
A''
Pour le trajet aller (fig. 1), le segment CD représente la trajectoire de Toto dans la rivière. Comme l'écoulement
se fait d'est en ouest et que Toto doit aller au nord-ouest, on construit DA' = CA. Puis on trace la
droite BA', qui serait la trajectoire de Toto sans la rivière, le déplacement horizontal de A en A' compensant
le courant de la rivière. Le point N sur BA' est le point d'accostage de Toto, le segment MN sa trajectoire
dans l'eau et AM = A'N est le chemin qu'il doit suivre pour plonger en M. On constate que Toto a appliqué
à la lettre le principe de Fermat. Les portions NB et AM sont situées sur des droites parallèles.
Pour le trajet retour (fig. 2), lorsque Toto traverse la rivière en nageant plein sud, le courant l'entraîne toujours
vers l'aval. Comme durant l'aller, pour construire son itinéraire, il faut tenir compte de sa dérive en la portant
vers l'amont. On construit EA " = FA et la droite BA " détermine le point P où Toto doit plonger. Les portions
BP et QA sont portées par des droites parallèles. C'est encore le principe de Fermat qui est à l'œuvre.
APPLICATIONS
Ces constructions élémentaires montrent que les trajets aller et retour
sont différents. L'aller est en tout point conforme au trajet d'un rayon
lumineux arrivant sur un dioptre plan d'indice de réfraction n 1. Le
retour est plus subtil et inhabituel en optique puisqu'il correspond à
un indice de réfraction négatif (n < 0 avec |n| 1).
Si on considère un dioptre plan suffisamment épais pour que les rayons
lumineux issus de A convergent au foyer F1 intérieur au dioptre (fig. 3),
lesdits rayons vont de nouveau converger en un point B extérieur au
dioptre. On a ainsi réalisé une lentille plane parfaite sans aberrations
ni géométriques ni chromatiques. L'image en B, qui est réelle, peut être
exactement égale à l'image en A.
Dans la nature, dans une bande de fréquences donnée, on peut avoir
des métaux qui présentent une perméabilité négative (plasma) et des
diélectriques avec une permittivité également négative. Mais il n'existe
aucun matériau ayant à la fois ces deux propriétés entraînant un indice
de réfraction négatif. Cependant, en construisant des structures résonnantes
ou métamatériaux dont les dimensions des résonateurs sont
inférieures à une longueur d'onde donnée, le CNRS a mis en évidence la possibilité d'obtenir des indices
de réfraction négatifs mais seulement à une fréquence bien particulière. Les objectifs sont de trouver des
matériaux et des structures qui permettraient d'élargir le domaine fréquentiel pour lequel on aurait un
indice de réfraction négatif stable et maîtrisé. Pour des applications militaires, d'autre part, les objectifs
sont d'obtenir une invisibilité (des aéronefs, par exemple) et, dans le domaine civil, dans les zones hautement
sismiques, d'annihiler une grande partie des ondes destructives.
A
FIG. 3
F1
B
Claude Jobin (An. 166)
74 Arts&MétiersMAG
N°439 / octobre 2022
FIG. 2, RETOUR
Roger Amblard (Ai. 162)
Philippe Artiges (Ai. 159)
Pierre Bertran (Ai. 148)
Alain Blanchard (An. 168)
Gérard Bruyère (Cl. 156)
Jean-Paul Busseuil (Cl. 164)
André Catillon (Ai. 152)
Philippe Charbonnier (Li. 166)
Rémi Christory (Li. 202)
Jean-Michel Ciccone (Bo. 163)
Alain Delahodde (ESE 1975)
Jean-Charles Derobert (Bo. 186)
Jean-Claude Foucriat (Cl. 149)
Jackie Jeangeorges (Ai. 166)
Yves Laumond (Ai. 162)
Jean-Marc Ollivier (An. 169)
Patrick Plottu (An. 191)
Jean Simon (Cl. 156)
Michel Simon (An. 152)
Claude Terracol (An. 151)
P
E
Problème
n°
186
proposé par Alain Delahodde (ESE 1975)
On considère un ballon dirigeable qui
se meut à une vitesse propre dans
l'air Vp faisant un angle β avec une
direction de référence Dz. Le vent
souffle avec une vitesse Vv dans la
direction opposée à Dz, imposant
ainsi au dirigeable une vitesse/sol Vs
faisant un angle α avec la direction
Dz. Si on postule que la traînée
du ballon est proportionnelle à
sa vitesse, quelle est sa vitesse/sol
la plus économique ?
LES SOLUTIONS
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9 novembre 2022
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