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PARTIE 4 - Les outils d'amélioration des performances
2 La loi de la moyenne d'un échantillon (théorème limite central)
Du fait de la propriété vue au point précédent, un seul échantillon suffit ; sa moyenne sert de base pour
l'approximation de la moyenne de la population.
Lorsque la taille de l'échantillon est grande (n > 30), la distribution d'échantillonnage suit une loi normale,
que la distribution de la population soit normale ou non.
Lorsque la distribution de la population est normale alors la distribution d'échantillonnage suit elle aussi
une loi normale quelle que soit la taille de l'échantillon.
La population suit une loi normale de paramètres N(μ, σ).
La moyenne de l'échantillon de taille n suit une loi normale de paramètres :
σ
X
−
→ N (μ,
σ
√n
) si la population est infinie X
−
La moyenne X
−
→ N (
de la variable X définie sur la population mère.
APPLICATION CORRIGÉE
Une entreprise utilise 5 machines pour remplir des paquets de riz. Chaque machine est calibrée afin de remplir des paquets de 500 g.
Le poids du paquet peut légèrement varier, il suit une loi normale de paramètre μ = 500 et σ = 5.
Sur chaque machine, il est prélevé en fin de journée 20 paquets.
1. Déterminer les paramètres de la loi du poids moyen de l'échantillon.
2. Déterminer la probabilité que le poids moyen des 100 paquets prélevés soit inférieur ou égal à 499 g.
Correction
1. Les paramètres de la loi du poids moyen
L'échantillon est formé de 20 × 5 = 100 éléments.
Tous ces éléments proviennent d'une population mère dont le poids suit une loi normale.
La distribution d'échantillonnage de moyennes suit une loi normale de paramètres : μ = 500 et σx
2. La probabilité que le poids moyen soit inférieur à 499 g
Dans un premier temps, il faut effectuer un changement de variable T =
P(X < 499) = P(T < − 2) = 1 − P(T < 2) = 1 − 0,9772 = 0,0228
La probabilité que l'un des paquets prélevés pèse moins de 499 g est de 2,28 %.
X − μ
σ
=
499 − 500
0,5
σ
=
√n
= - 2
=
√100
5
= 0,5
√n
√
N − n
N − 1
) et si la population est finie.
, variant d'un échantillon à l'autre, est une estimation ponctuelle de μ, μ étant la moyenne
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