Chapitre 5 - La prise en compte des données aléatoires La variance de la variable aléatoire X dont l'intervalle de définition est ] − ∞ ; + ∞ [ est définie par : V(X) = ∫ +∞ −∞ x2f(x)dx − [E(X)]2 et donc par définition l'écart- type : σ (X) = 6V(X). APPLICATION CORRIGÉE (suite) Calculer l'espérance et l'écart- type de la variable aléatoire X. Correction L'espérance est : E(X) = ∫ 2 x 1 − ( ) = ∫0 2 x2 ( 1 − x 2 ) dx = [ x3 3 − x4 8 ] x 2 2 ) dx = = ( 8 3 [ − L'écart- type est σ (X) = 6V(X) = 0,47. x2 2 − 16 8 ) x3 6 ] = 2 = 2 3 ( 4 2 − Pour déterminer l'écart- type il faut calculer la variance : E(X2 8 6 ) = 2 3 et la variance est V(X) = 2 3 − ( ) 2 3 II 2 = 2 9 = E(x2 ) − [E(X)]2 Les caractéristiques et modalités d'application des lois de probabilité L'utilisation des lois usuelles de probabilités permet d'aller au- delà d'une simple observation et d'une analyse sommaire. Il s'agit de faire des extrapolations prospectives. A 1 Les lois de probabilités discrètes La variable de Bernoulli Une variable de Bernoulli est une variable qui ne peut prendre que deux valeurs exclusives, souvent désignées par « succès » et « échec », avec les probabilités respectives : p et q. Soit une variable aléatoire X qui est égale à 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètres p. On note alors : X → ß (1 ; p) 81